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Matemática 51

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 2 - Funciones (Anterior)

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11. Encontrar la función lineal $f$ cuyo conjunto de negatividad es $\left(7;+\infty\right)$ y $f\left(4\right)=9$. Calcular el valor de $f\left(10\right)$.

Respuesta

¡Uy, uy! Este es un típico ejercicio de parcial. Tenés que hallar la función lineal pero no te dan dos puntos, tampoco te dan la pendiente y un punto, sino que te dan el conjunto de negatividad y un punto. ¿Interesante, no?
Bueno, como nos dan el conjunto de negatividad $\left(7;+\infty\right)$, sabemos que la función es negativa para $x$ mayor a 7. Esto implica que en $x = 7$, $f(x)$ pasa de ser positiva a negativa, lo que indica que la recta cruza el eje $x$ juuuuuustamente en $x = 7$. Entonces podemos deducir que la recta pasa por el punto $(7, f(7)) = (7,0)$. Es decir ¡Te dieron un punto por donde pasa la gráfica de la función pero "camuflado"! Y no sé si lo notaste, pero encima es una raíz de la función. 😉

  Además, el enunciado nos dice que $f(4)=9$, lo cual indica que la recta pasa por el punto $(4, f(4)) = (4,9)$. ¡Listo! Tenés dos puntos de la recta, ya podés hallar su ecuación.
La ecuación de una función lineal es de la forma $f(x)=mx+b$, donde $m$ es la pendiente y $b$ es la ordenada al origen (corta al eje $y$). Como tenemos los puntos $(4,9)$ y $(7,0)$ podemos calcular la pendiente $m$ utilizando estas coordenadas: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ Sustituyendo las coordenadas de los puntos obtenemos: $m = \frac{0 - 9}{7 - 4} = \frac{-9}{3} = -3$ Por lo tanto, la pendiente de la recta es $-3$.
Ahora, sabiendo que la ecuación de una recta es $y = mx + b$, podemos hallar el valor de $b$ (el término independiente) cuando la recta corta el eje y, es decir, en $x=0$. Para esto, podemos utilizar uno de los puntos por los que pasa la recta. Usamos el punto $(4,9)$: $9 = -3.4 + b$

$9 = -12 + b$
$b = 9 + 12 = 21$
Por lo tanto, la función lineal $f$ es $f(x)=-3x+21$.

Finalmente, para calcular $f(10)$, sustituimos $x$ por 10 en la ecuación de la función: $f(10)= -3*10 + 21 = -30 + 21 = -9$. Por lo tanto, $f(10) = -9$.
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